5解析几何时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·郑州市质检)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线垂直的充要条件为a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故选B．2．(文)已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝0[答案]A[解析]圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l， kOM＝1，∴kl＝－1，∴l的方程为：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.(理)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积()A．有最大值为πB．有最小值为πC．有最大值为4πD．有最小值为4π[答案]D[解析]如图所示，由圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，可得点C的轨迹为抛物线x2＝4y，显然以抛物线x2＝4y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x－4y＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C的面积不存在最大值，设圆C与3x－4y＋20＝0相切于点A，其圆心为(x0，y0)，则由AC＝PC可得d＝＝y0＋1(点C在直线3x－4y＋20＝0的右方)，即＝x＋1，解得x0＝－2或x0＝(舍去)，当x0＝－2时，圆心C坐标为(－2,1)，此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π，故应选D．3．(文)(2015·江西上饶三模)已知点M(－6,5)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x[答案]A[解析]由条件知∴∴渐近线方程为y＝±x.(理)(2015·新课标Ⅱ理，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.B．2C.D．[答案]D[解析]考查双曲线的标准方程和简单几何性质．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝，故选D．4．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则，两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故应选B．5．(文)(2015·新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12[答案]B[解析]抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)．因为E的右焦点与抛物线焦点重合，所以椭圆中c＝2，离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4，则椭圆方程为＋＝1，因为抛物线的准线方程为x＝－2，当x＝－2时，y＝±3，则|AB|＝2×3＝6.故本题正确答案为B．(理)过原点O作直线l交椭圆＋＝1(a>b>0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝()A.B．C.D．[答案]B[解析]记椭圆的左焦点为F1，依题意得|AB|＝2c，四边形AF1BF2为矩形，sin∠ABF2＝＝＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|2＝(2a－|AF2|)2＝(2a－2ce)2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，(2a－2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e＝，选B．6．半径不等的两定圆O1、O2没有公共点，且圆心不重合，动圆O与定圆O1和定圆O2都内切，则圆心O的轨迹是()A．双曲线的一支B．椭圆C．双曲线的一支或椭圆D．双曲线或椭圆[答案]C[解析]设⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R，且r1>r2>0，当⊙O1与⊙O2外离时，由条件知⊙O1与⊙O2都内切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2,0
