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常微分方程练习题及答案(复习题)(8 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程是 阶 （线性、非线性）微分方程.2. 方程经变换，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程满足条件的解有 个.4. 设常系数方程的一个特解，则此方程的系数 ， ， .5. 朗斯基行列式是函数组在上线性相关的 条件.6. 方程的只与有关的积分因子为 .7. 已知的基解矩阵为的，则 .8. 方程组的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 的特征根是 二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程. 3. 求解方程 。4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 的通解. 6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解. 7．设 ， ，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解. 8. 求方程 通过点 的第二次近似解.9.求 的通解10.若 试求方程组的解 并求 expAt三、证明题1. 若是的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵，使得.2. 设是积分方程的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：在上.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明: (i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证：假如是满足初始条件的解，那么.答案一.填空题。1. 二，非线性 2.， 3.无穷多 4.5.必要 6. 7. 8. 9. 10. 11.12. 1, 二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解: 设曲线方程为 , 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意可得如下初值问题: . 分离变量, 积分并整理后可得 . 代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 . 2.求解方程. 解：由 求得 令 则有 令，解得,积分得,故原方程的解为 . 3. 求解方程 解 令，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，即，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。4.用比较系数法解方程. . 解：特征方程为 , 特征根为 . 对应齐方程的通解为 . 设原方程的特解有...