平面几何四大定理

平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯（Me ｎ elaus）定理（梅氏线）△A ＢＣ得三边 B Ｃ、Ｃ A、AB 或其延长线上有点 P、Q、R,则 P、Q、R 共线得充要条件就是 .塞瓦(C ｅ v ａ）定理（塞瓦点）△Ａ BC 得三边 B Ｃ、CA、AB 上有点 P、Ｑ、R，则Ａ P、BQ、Ｃ R 共点得充要条件就是。托勒密(P ｔｏ lemy）定理四边形得两对边乘积之与等于其对角线乘积得充要条件就是该四边形内接于一圆。西姆松（Ｓｉ mson）定理（西姆松线)从一点向三角形得三边所引垂线得垂足共线得充要条件就是该点落在三角形得外接圆上。例题：1． 设 AD 就是△A Ｂ C 得边 BC 上得中线，直线 CF 交 AD 于 F。求证:。【分析】CEF 截△A Ｂ D→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明:过Ａ、Ｂ、D 之一作 C Ｆ得平行线。2． 过△A Ｂ C 得重心 G 得直线分别交 AB、A Ｃ于Ｅ、F,交 CB 于 D。求证:。【分析】连结并延长 A Ｇ交ＢＣ于 M，则 M 为 BC 得中点。Ｄ EG 截△ＡＢ M→（梅氏定理）DG Ｆ截△Ａ C Ｍ→(梅氏定理)∴===１【评注】梅氏定理3． D、E、Ｆ分别在△ABC 得 B Ｃ、Ｃ A、AB 边上，,Ａ D、B Ｅ、CF 交成△LM Ｎ。求 S△Ｌ MN。【分析】【评注】梅氏定理4． 以△ABC 各边为底边向外作相似得等腰△ BCE、△Ｃ AF、△AB Ｇ。求证：AE、BF、C Ｇ相交于一点。【分析】【评注】塞瓦定理5． 已知△Ａ BC 中,∠B＝２∠C。求证：Ａ C2=AB2+Ａ B·B Ｃ。【分析】过Ａ作 BC 得平行线交△ABC 得外接圆于Ｄ,连结 BD。则 CD＝Ｄ A=AB，AC=ＢＤ。由托勒密定理，AC·BD＝AD·Ｂ C+CD·AB。【评注】托勒密定理6． 已知正七边形 A １A2A3A4A5A6Ａ７.求证:。(第 21 届全苏数学竞赛)【分析】【评注】托勒密定理7． △ABC 得 BC 边上得高 AD 得延长线交外接圆于 P，作 PE⊥AB 于 E，延长 ED 交ＡC 延长线于 F.求证：BC·Ｅ F=B Ｆ·CE+BE·C Ｆ。【分析】【评注】西姆松定理(西姆松线）8． 正六边形ＡＢ CDE Ｆ得对角线 AC、CE 分别被内分点Ｍ、N 分成得比为ＡＭ:AC=Ｃ N:ＣＥ=k，且Ｂ、M、N 共线。求 k。（23－Ｉ MO－5）【分析】【评注】面积法9． O 为 △ ABC 内 一 点 , 分 别 以 da 、 db 、 dc 表 示 Ｏ 到BC、CA、Ａ B 得距离，以 Ra、Rb、R ｃ表示 O 到A、B、C 得距离.求证:(1)a·Ｒ a≥b·db+c·dc...