第1讲等差数列与等比数列「考情研析」1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明．2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分.核心知识回顾1.等差数列(1)通项公式：□an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.(2)等差中项公式：□2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(3)前n项和公式：□Sn＝＝na1＋.2．等比数列(1)等比数列的通项公式：□an＝a1qn－1＝amqn－m.(2)等比中项公式：□a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)．(3)等比数列的前n项和公式：□Sn＝.3．等差数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)(1)若m＋n＝l＋k，则□am＋an＝al＋ak(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有□am＋an＝2ap.(2)若{an}，{bn}是等差数列，则{kan＋tbn}(k，t是非零常数)是□等差数列．(3)等差数列“依次每m项的和”即Sm，□S2m－Sm，□S3m－S2m，…仍是等差数列．(4)等差数列{an}，当项数为2n时，S偶－S奇＝□nd，＝□，项数为2n－1时，S奇－S偶＝□a中＝□an，S2n－1＝(2n－1)an且＝□.(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)4．等比数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)(1)若m＋n＝l＋k，则□am·an＝al·ak(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有□am·an＝a.(2)当n为偶数时，＝□q(公比)．(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)(3)等比数列“依次m项的和”，即Sm，□S2m－Sm，□S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列．热点考向探究考向1等差数列、等比数列的运算例1(1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且满足若a3＋S5＝12，a4＋S7＝24，则a5＋S9＝()A．24B．32C．40D．72答案C解析 a3＋S5＝6a3＝12，a4＋S7＝8a4＝24，∴a3＝2，a4＝3，∴a5＝4，∴a5＋S9＝10a5＝40.故选C.(2)在等差数列{an}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前5项的和为()A．15B．20C．25D．15或25答案D解析设公差为d， a3为a2，a6的等比中项，∴a＝a2·a6，即(a4－d)2＝(a4－2d)(a4＋2d)，∴5d(d－2)＝0，∴d＝0或d＝2.∴5－d＝5或3，即a3＝5或3，∴S5＝5a3＝25或15.故选D.(3)已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．答案3n－1解析 a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0， an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，且首项为2，公比为3，∴Sn＝3n－1.利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．1．在各项为正数的等比数列{an}中，S2＝9，S3＝21，则a5＋a6＝()A．144B．121C．169D．148答案A解析由题意可知，即解得或(舍去)．∴a5＋a6＝a1q4(1＋q)＝144.故选A.2．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为()A.B.C.D.答案C解析设an为第n等人的得金数，则{an}为等差数列，由题设可知a1＋a2＋a3＝4，a8＋a9＋a10＝3，故a2＝，a9＝1，而a5＋a6＝a2＋a9＝.故选C.3．(2019·安徽太和第一中学高一调研)定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝()A．4×20202－1B．4×20192－1C．4×20222－1D．4×20192答案A解析 a1＝a2＝1，a3＝3，∴－＝2，∴是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝2n－1，∴＝·＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×20202－1.故选A.考向2等差数列、等比数列的判定与证明例2已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<.证明(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，－＝2，所以数列...
