有限元基础理论学习总结报告中国矿业大学（北京）14 级硕士 王 涛通过课上和课下的学习，对有限元基础理论有了一定的了解和认识。经过学习，更加深刻的理解了有限元的离散、单元类型、插值函数构造和等参变换等知识，现对有限元的基本理论和用法做了如下学习和报告。已经进展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。一类是有限差分法，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解，求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分方程来近似微分方程。借助于有限差分法能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间的坐标系（Euler 坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势，因此在流体力学领域内，至今仍占支配地位。但是对于固体结构问题，由于方程通常建立于固结的物体上的坐标系（Lagrange 坐标系）和形状复杂，另一类数值分析方法——有限元法则更为合适。有限差分法： 特点：以差分方程近似微分方程，直接数值求解原问题的微分方程，在流体力学，岩土力学领域占重要地位。有限元法： 特点：区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从等效的积分形式出发，数值求解原问题的等效积分方程。 基本思想：1 将求解域离散为有限个子域（单元）的集合 2 分片逼近待求函数 分析过程：1 单元特性分析，单元节点位移与节点力之间的关系 2 系统特性分析，将单元刚度矩阵集成整体刚度方程 1. 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 1.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法1.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组 （在 Ω 内） （1.1.1）域 Ω 可以是体积域、面积域等。同时未知函数还应满足边界条件 （在内） （1.1.2）是域 Ω 的边界。由于微分方程组（1.1.1）在域 Ω 中每一点都必须为零，因此就有 （1.1.3）其中 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。（1.1.3）式与微分方程组（1.1.1）式是完全等效的积分形式。同理，加入边界条件（1.1.2）也同时在边界上每一点都得到满足，则其等效积分形式（微分方程）为 (1.1.5)对（1.1.5）分部积分得到等到另一种形式 (1.1.6)其中 C、D、E、F 是微分算子，它们中包含的阶数较（1.1.5）式的 A 低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。...
