中学数学教学案例——任意角的三角函数（第 1 课时） 北屯高级中学 高一数学组 秦妮一、情境描述第一部分——情景引入问题 1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为，它的直径为 2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要 360 秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置 OA 出发（如图 1 所示），过了 30 秒后，你离地面的高度 为多少？过了 45 秒呢？过了 秒呢？R1fGnRi。Bg9XoCP。【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生进展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。tfPROwj。S4f4jHz。第二部分——复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了 30 秒后，你离地面的高度为多少？”【分析】：作图如图 2 很容易知道：从起始位置 OA 运动 30 秒后到达 P 点位置，由题意知，作 PH 垂直地面交 OA 于 M，又知 MH＝，所以本问题转变成求 PH，再次转变为求PM。VgxHLZy。72LjjVy。要求 PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。问题 2：锐角的正弦函数如何定义？【学生自主探究】：学生很容易得到vkcvste。jKyCYLX。zCGZh3E。QYpp28q。所以学生很自然得到“过了30 秒后，过了 45 秒,你离地面的高度为多少？”NI9hCNQ。mPICMgu。【老师总结】：在锐角的范围中，BiwU7lB。0vjuCwZ。第三部分——引入新课问题 3：请问 的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度为多少？能不能猜想？yUI7AKz。QVRhFOu。【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今日我们就要来学习任意角的三角函数。问题 4：如图建立直角坐标系，设点，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？zgiUCy5。6kMmW5H。【学生自主探究】：irNugXW。DRYToeI。，问题 5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？【分析】：先由学生回答问题，老师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。ksVKV1O。oR1qDcm。【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可...
