3.立体几何1.(2017·全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值.(1)证明由题设可得△ABD≌△CBD.从而AD＝CD，又△ACD为直角三角形，所以∠ADC＝90°，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO，又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角，在Rt△AOB中，BO2＋OA2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°，所以平面ADC⊥平面ABC.(2)解由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，|OA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A，D，B，C(－1，0，0)，由题意知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E，故AE＝，AD＝，OA＝.设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面AEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则解得n1＝，解得n2＝(0，－1，)，设二面角D－AE－C为θ，易知θ为锐角，则cosθ＝＝.2.(2017·河南百校联盟模拟)在如图所示的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点.(1)求证：DE∥平面ACC1A1；(2)若AB⊥BC，AB＝BC，∠ACB1＝60°，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值.(1)证明取AB中点F，连接DF，EF.在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，又DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1.在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EF∥AA1，又EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.因为DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ACC1A1.因为DE⊂平面DEF，故DE∥平面ACC1A1.(2)解因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BC⊥BB1，又AB⊥BC，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1.因为AB＝BC，BB1＝BB1，所以△ABB1≌△CBB1，AB1＝CB1，又∠ACB1＝60°，所以△AB1C为正三角形，所以AB1＝＝AC＝AB，所以BB1＝AB.取AB1的中点O，连接BO，CO，所以AB1⊥BO，AB1⊥CO，所以AB1⊥平面BCO，所以平面AB1C⊥平面BCO，点B在平面AB1C上的射影在CO上，所以∠BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角.在Rt△BCO中，BO＝AB＝BC，所以tan∠BCO＝＝.3.(2017·中原名校豫南九校模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，E，F分别为AD，PA的中点，在BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD.(1)求证：平面BEF∥平面PDQ；(2)求二面角E－BF－Q的余弦值.(1)证明方法一(向量法)以A点为原点，分别以AB，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，a，0)，P(0，0，1)，设Q(1，x，0)，则PQ＝(1，x，－1)，QD＝(－1，a－x，0)，若PQ⊥QD，则PQ·QD＝－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4＝0，∴a＝2，x＝1.∴Q，QD＝，又E是AD的中点，∴E，BE＝，∴QD＝BE，∴BE∥DQ，又BE⊄平面PDQ，DQ⊂平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是PA的中点，∴EF∥PD， EF⊄平面PDQ，PD⊂平面PDQ，∴EF∥平面PDQ， BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，∴平面BEF∥平面PDQ.方法二(几何法)题意转化为矩形ABCD中AQ垂直于QD的点Q只有一个，则以AD为直径的圆与线段BC相切，易得BC＝2，Q是线段BC的中点，由BE∥QD，EF∥DP，易得两平面平行.(2)解设平面BFQ的一个法向量m＝，则m·BF＝m·BQ＝0，由(1)知，BF＝，BQ＝，∴－x＋z＝y＝0，取z＝2，得m＝，同样求得平面BEF的一个法向量n＝，cos〈m，n〉＝＝， 二面角E－BF－Q为锐角，∴二面角E－BF－Q的余弦值为.4.(2017·云南大理统测)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E，F分别为PC，BD的中点.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)在线段AB上是否存在点G，使得二面角C－PD－G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，所以在△PAC中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)解取AD的中点O，...
