阿基米德折弦定理1．（2025•成都自主招生）在中，顺次连接、、．（1）如图 1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；（2）如图 2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，，，则 、 、 有何数量关系？（3）如图 3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为 9，请求出的值？2．（2024 秋 丰泽区校级期末）•古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图 1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图 2，在上截取，连接，，和．是的中点，，．（2）如图（3），已知等边内接于，，为上一点，，，垂足为，请你运用“折弦定理”求的周长．3．（2024 秋 建邺区期中）•问题提出如图①，、是的两条弦，，是的中点，垂足为，求证：．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图②，延长至，使，连接、、、、．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．推广运用如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是 ．拓展研究如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．4．（2025•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．命题：如图 1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接．求证：．证明思路：如 图 2 ， 将绕 点逆 时 针 旋 转至．，，与重 合 ．，，点、、是一条直线．根据，得证△，得．（1）特例应用如图 1，命题中，如果，，求正方形的边长．（2）类比变式如图 3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接．写出、、之间的关系式，并证明你的结论．（3）拓展深入如图 4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，．① 如图 5，连接、，与交于点，求证：，；② 若点在（点不与点、、、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、、之间的等式关系．5．（2024 秋 厦门期末）•已知、、、是上的四点，，是四边形的对角线（1）如图 1，连接，若，求证：是的平分线；（2）如图 2，过点作，垂足为，若，，求线段的长度．6．（2024•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和...
