1．（2025•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，．（1）如图 1，若，求证：；（2）如图 2，若，在上，，求证：；（3）如图 3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积．【解答】（1）证明：，，，，，，，；（2）证明：延长至使，由（1）得，，，延长至 使，连接，则，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：延长至使，，，，，，，，，过作的对称点，连接、、、，，当、、三点共线时周长最小，当周长最小时如图所示：，，，是正三角形，，，，，，，，，，，，，．2．（2025 春•荣昌区期末）菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点．（1）如图 1，若，当时，求的长；（2）以为边向右侧作等边，连接，．① 如图 2，点是中点，连接．求证：；② 如图 3，当时，直接写出的值．【解答】（1）解：四边形是菱形，，，，平分，，，，，，，，，，，；（2）证明：如图，延长至，使，即，连接，点为的中点，，在和中，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如图，连接交于点，过点作于点，设，则，，四边形为菱形，，，，，，，为等边三角形，，在中，，，，，，即，，在中，，，为等边三角形，，，，，在和中，，，，，，，．3．（2025•抚州三模）课本再现：（1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质．如图（1），在中，点，分别是，的中点，连接．则与的关系是 ， ．定理证明（2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程．定理应用（3）如图（2），在四边形中，点，，分别为，，的中点，，的延长线交于点．若，则的度数是 ．（4）如图（3），在矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，点是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．【解答】解：（1）如图，延长至点，使，连接，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，．故答案为：且；（2）证明：如图，延长至点，使，连接，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，．（3）点，分别为，的中点，，，点，分别为、的中点，，，．故答案为：．（4）如图，延长至点，使，连接，连接，，，，，由勾股定理得，，，，，点在以点为圆心，3 为半径的圆上（不与点重合），当点在线段上时，最小，最小值为；当点在线段的延长线上时，最...
