几何模型之倍长中线1．（2025•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，．（1）如图 1，若，求证：；（2）如图 2，若，在上，，求证：；（3）如图 3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积．2．（2025 春 荣昌区期末）•菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点．（1）如图 1，若，当时，求的长；（2）以为边向右侧作等边，连接，．① 如图 2，点是中点，连接．求证：；② 如图 3，当时，直接写出的值．3．（2025•抚州三模）课本再现：（1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质．如图（1），在中，点，分别是，的中点，连接．则与的关系是 ．定理证明（2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程．定理应用（3）如图（2），在四边形中，点，，分别为，，的中点，，的延长线交于点．若，则的度数是 ．（4）如图（3），在矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，点是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．4．（2025 春 巴南区期中）•在矩形中，是边上一点．（1）若，平分，且，求的面积；（2）若是中点且，于点，求证：；（3）若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系．5．（2025 春 碑林区校级期中）•为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图 1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．【探究发现】（1）图 1 中与的数量关系是 ，位置关系是 ；【初步应用】（2）如图 2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则．【探究提升】（3）如图 3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．6．（2025 秋 南沙区校级期末）•如图，在中，点是的中点，分别以，为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，，，，连接．（1）请写出与的数量关系，并说明理由．（2）延长交于点，求的度数．7．（2025•蜀山区校级一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．（1）若，，求的长；（2）求证：；（3）求证：．8．（2025 秋 东城区期末）•如图，在等边三角形中，点为内一点，连...
