将军饮马(3)1.(2025 秋 泰山区期末)•如图,抛物线经过点,点为抛物线的顶点,点在轴上,且,直线与抛物线在第一象限交于点,如图.(1)求直线和抛物线的表达式;(2)在轴上找一点,使得的周长最小,在备用图中画出图形并求出点的坐标;(3)在坐标平面内是否存在点,使以点、、、为顶点且为一边的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2025 秋 思明区校级期中)•如图,抛物线经过点,点,点.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点为抛物线上一点,连接,若直线分四边形的面积为的两部分,求点的坐标.(3)点、是直线上的两个动点,且,点在点的上方,求四边形的周长的最小值及此时点的坐标.3.(2025 秋 诸暨市期中)•如图,二次函数图象与 轴交于点、,与轴交于点,抛物线的顶点坐标是,且经过.(1)求抛物线的函数关系式;(2)求的面积;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得最短?若存在,求出的坐标.若不存在,请说明理由.4.(2025 春 崂山区期末)•古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸同侧的两个军营,.他总是先去营,再到河边饮马,之后,再巡查营.他时常想,怎么走,才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.如图 2,作关于直线 的对称点,连结与直线 交于点,点就是所求的位置.证明:如图 3,在直线 上另取任一点,连结,,, 直线 是点,的对称轴,点,在 上,∴ , ,∴ .在, ,∴即最小.本问题实际上是利用轴对称变换的思想,把,在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中在与的交点上,即,,三点共线).本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型.拓展应用:如图 4,等腰直角中,,平分交于,点是上一个动点,点是上一个动点,请在图 5 中画出的值最小时的位置.(可用三角尺)5.(2025•福山区模拟)如图 1,抛物线与 轴交于,两点,与轴交于点.直线经过抛物线上两点,.已知点,的横坐标分别为,且满足,直线的表达式为.(1)求 的值及抛物线的表达式;(2)设点是直线上一动点,问:点在什么位置上时,的周长最小?求出点的坐标及周长的最小值;(3)如图 2,是线段上的一个动点,过点作垂...