四点共圆1．（2025 秋 鼓楼区期中）•以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的 4 个顶点共圆（图 1、；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的 4 个顶点共圆（图；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图．（1）在图 1、2 中，取的中点，根据 得，即，，，共圆；（2）在图 3 中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证．（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图 6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图 7，点是外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上．求证：点在的外接圆上．2．（2025 秋 仪征市期中）•【问题提出】苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题 1 中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题 1 的证明：是的直径， ，，四边形内角和等于， ．（2）请回答问题 2，并说明理由；【深入探究】如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．（3）直接写出四边形边满足的数量关系 ；（4）探究、满足的位置关系；（5）如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积．3．（2010•永州）探究问题：（1）阅读理解：① 如图（A），在已知所在平面上存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离；② 如图（B），若四边形的四个顶点在同一圆上，则有．此为托勒密定理；（2）知识迁移：① 请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：；② 根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在的外部以为边长作等边及其外接圆；第二步：在上任取一点，连接、、、．易知 ；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出的费马点，并请指出线段 的长度即为的费马距离．（3）知识应用：2010 年 4 月，...
