正方形综合题1.(2025•海淀区校级开学)如图,正方形 ABCD 中,点 P 在边 AD 上,延长 CP 至 E,连结 DE,使 DE=DC,DN 平分∠ADE,交 CE 于点 N,连接 AE、AN、BN.(1)依题意补全图形;(2)判断△ANE 的形状,并证明;(3)用等式表示线段 AN、BN、CN 三者之间的数量关系,并证明.2.(2025 春 殷都区期末)•如图,四边形是正方形,点在线段上,点在射线上,且,连结,点为线段中点.【感知】如图 1,当点在线段上时,① 易证:与全等(不需要证明).进而得到与的数量关系是 .② 过点作于点,于点,易证:(不需要证明).进而得到与的位置关系是 .【探究】如图 2,当点在线段上(点不与点,重合)时,试写出与的数量关系和位置关系,并说明理由.3.(2025 春 东阳市月考)•如图 1,已知在矩形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,△BEC 与△FEC 关于直线 EC 对称,点 B 的对称点 F 在边 AD 上,(1)求证:△AEF∽△DFC;(2)如图 2,G 为 CD 的中点,连结 BG 分别与 CE,CF 相交于 M,N 两点.若 BE=BM,MG=2,求 CD 的长度;(3)在(2)的条件下求出 BN 的长度和 cos∠AEF 的值;(4)在(2)的条件下求出 EF 的长度.4.(2025 春 盐都区月考)•已知,四边形是正方形,绕点旋转,,,连接、.(1)如图 1,求证:;(2)直线与相交于点.① 如图 2,于点,于点,求证:四边形是正方形;② 如图 3,连接,若,,直接写出在旋转的过程中,线段长度的最小值.5.(2025 春 海州区期中)•如图(1),点是正方形的边上一点(点与点,不重合),点在的延长线上,且,连接,.(1)求证:;(2)直线交于,连接,.点是与的交点.① 若是的中点时,求证:.② 若 是大于 1 的实数)时,记的面积为,的面积为,求证:.6.(2025•宁阳县一模)综合与实践如图 1,已知点在正方形的对角线上,,垂足为,,垂足为.【证明与推断】(1)①四边形的形状是 ;②的值为 ;【探究与证明】(2)在图 1 的基础上,将正方形绕点按顺时针方向旋转角,如图 2 所示,试探究线段与之间的数量关系,并说明理由;【拓展与运用】(3)如图 3,在(2)的条件下,正方形在旋转过程中,当、、三点共线时,探究和的位置关系,并说明理由.7.(2025 春 新野县期末)•动手操作:利用“正方形纸片的折叠”开展数学活动,探究在正方形折叠的过程中图形的变化及其蕴含的...