26年中考数学几何模型解读与训练专题09三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型（学生版+名师详解版）

专题 09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。模型 1、弦图模型（1）内弦图模型：如图 1，在正方形 ABCD 中，AE⊥BF 于点 E，BF⊥CG 于点 F，CG⊥DH 于点G，DH⊥AE 于点 H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S 正方形 ABCD=4S△EAB+S 正方形 EFGH。 图 1 图 2 图 3（2）外弦图模型：如图 2，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边上的点，且四边形 EFGH 是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S 正方形 ABCD=4S△EAB+S 正方形EFGH。（3）内外组合型弦图模型：如图 3，2S 正方形 EFGH= S 正方形 ABCD+S 正方形 PQMN.例 1．（2025 秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是 16，直角三角形的直角边长分别为 a，b，且，那么图中小正方形的面积是（ ）A．2B．3C．4D．5例 2．（2025·安徽安庆·八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（ ）A．24B．6C．D．例 3．（2025·山西八年级期末）如图，图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A．B．C．D．例 4．（2025·杭州九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2...