专题 18 全等与相似模型之十字模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。模型 1.正方形的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。1）如图 1，在正方形 ABCD 中，若 E、F 分别是 BC、CD 上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。 2）如图 2，在正方形 ABCD 中，若 E、F、G 分别是 BC、CD、AB 上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。3）如图 3，在正方形 ABCD 中，若 E、F、G、H 分别是 BC、CD、AB、AD 上的点，EH⊥GF；则 HE=GF。 模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.例 1．（22·23 下·广东·课时练习）如图，将一边长为 12 的正方形纸片的顶点 A 折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（ ）A．13B．14C．15D．16例 2．（2025 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形中，，点 E，F 分别在边，上，与相交于点 G，若，则的长为 ．例 3．（2025 安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形中，点 E、F、H 分别是的中点，交于 G，连接．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ） A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个例 4．（广西 2025-2025 学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形 ABCD 中，E 为边 AB 上一点（点E 不与点 AB 重合），连接 DE，过点 A 作，交 BC 于点 F，证明：．（2）探究：如图②，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，CD 上的点（点 E，F 不与正方形的顶点重合），连接 EF，作 EF 的垂线分别交边 AD，BC 于点 G，H，垂足为 O．若 E 为 AB 中点，，，求 GH 的长．（3）应用：如图③，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，，BF，AE 相交于点 G．若，图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，则的面积为______，的周长为______．模型 2.矩形的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。如图 1，在矩形 ABCD 中，若 E 是 AB 上的...
