专题 24 最值模型之将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。模型 1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、B 在直线 m 两侧： （2）点 A、B 在直线同侧： mABP mAB mAB P mABA'【最值原理】两点之间线段最短。 上图中 A’是 A 关于直线 m 的对称点。例 1．（2025·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为 的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ． 例 2．（2025·广东广州·校考一模）如图，在C 中，的面积为，，平分，E、F 分别为、上的动点，则的最小值是（ ）A．B．C．2D．例 3．（2025·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为 4，点 E 在边上，且，F 为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 例 4．（2025·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）A．3B．5C．D．例 5．（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点 P 是边上一点（不与点 A，D 重合），连接．点 M，N 分别是的中点，连接，，，点 E 在边上，，则的最小值是（ ） A．B．3C．D．例 6．（2025·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，点 C、D 是上的点．且，分别与、相交于点 E，F．若的半径为 5，，点 P 是线段上任意一点，则的最小值是 ． 例 7．（2025·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点 E 是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．例 8．（2025·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交 x 轴于另一点 B，点 M 是抛物线的顶点，直线 AM 与轴交于点 D． (1)求该抛物线的表达式；(2)若点 H 是 x 轴上一动点，分别连接 MH，DH，求的最小值；...
