26年中考数学几何模型解读与训练专题26最值模型之费马点模型（学生版+名师详解版）

专题 26 最值模型之费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。【模型解读】结论 1：如图，点 M 为△ABC 内任意一点，连接 AM、BM、CM，当 M 与三个顶点连线的夹角为 120°时，MA+MB+MC 的值最小。注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于 120º，若最大的角大于或等于 120º，此时费马点就是最大角的顶点 A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于 120°）【模型证明】以 AB 为一边向外作等边三角形△ABE，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN． △ABE 为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB 与△ENB 中， ，∴△AMB≌△ENB（SAS）．连接 MN．由△AMB≌△ENB 知，AM＝EN． ∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN 为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当 E、N、M、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．费马点的作法：如图 3，分别以△ABC 的 AB、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF，连接 CE、BF，设交点为 M，则点 M 即为△ABC 的费马点。【最值原理】两点之间，线段最短。结论 2：点 P 为锐角△ABC 内任意一点，连接 AP、BP、CP，求 xAP+yBP+zCP 最小值。（加权费马点）【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。如：保持 BP 不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。模型特征：PA+PB+PC（P 为动点）① 一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；③同时线段前可以有不为 1 的系数出现，即：加权费马点。例 1．（2025·湖北...