26年中考数学几何模型解读与训练专题28最值模型之阿氏圆模型（学生版+名师详解版）

专题 28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。【模型解读】如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB， 连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点，P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。如图 3 所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。例 1．（2025·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆 C 半径为2，P 为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．例 2．（2025 春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为 4，的半径为 2，为上的动点，则的最大值是 ．例 3．（2025·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为 2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点 P，则的最小值为___________．例 4．（2025·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为 6 的正方形中，M 为上一点，且，N 为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点 P 与点 B 对应，连接，则的最小值为 ． 例 5．（2025·浙江·一模）问题提出：如图 1，在等边△ABC 中，AB＝9，⊙C 半径为 3，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求 AP+BP 的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP 转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图 2，连结 CP，在 CB 上取点 D，使 CD＝1，则有又 ∠PCD＝∠ △ ∽△ ∴ ∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当 A，P，D 三点共线时，AP+PD 取到最小值请你完...