专题 33 圆中的重要模型之圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在 19 世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。模型 1.相交弦模型条件：在圆 O 中，弦 AB 与弦 CD 交于点 E，点 E 在圆 O 内。结论：。例 1．（2025·江苏无锡·校联考三模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ． 例 2．（2025·山东济宁一模）如图，边长为 6 的等边三角形 ABC 内接于⊙O，点 D 为 AC 上的动点（点A、C 除外），BD 的延长线交⊙O 于点 E，连接 CE．(1)求证；(2)当时，求 CE的长．例 3．（2025·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图 1，的两弦相交于点 P．求证：．证明：如图 1，连接． ，．∴，（根据）∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．(2)小刚又看到一道课后习题，如图 2，AB 是的弦，P 是上一点，，，，求的半径．模型 2.双割线模型条件：如图，割线 CH 与弦 CF 交圆 O 于点 E 和点 G。结论：例 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= .例 2．（2025·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ．例 3．（2025·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．求证：．证明一：连接、， 和为所对的圆周角，∴______．又 ，∴______，∴______．即．研究后发现，如图②，如果连接、，即...
