13．1.2 线段的垂直平分线的性质第 1 课时 线段的垂直平分线的性质和判定1．掌握线段垂直平分线的性质．(重点)2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点) 一、情境导入如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作 AB 的垂直平分线 ED 交 AC 于 D，交AB 于 E，量得△BDC 的周长为 17m，你能帮测量人员计算 BC 的长吗？二、合作探究探究点一：线段垂直平分线的性质【类型一】 应用线段垂直平分线的性质求线段的长 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35cm，则 BC 的长为( )A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm解析： △DBC 的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又 DE 垂直平分 AB，∴AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35cm. AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故选 C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【类型二】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长AE 交 BC 的延长线于点 F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解 析 ： (1) 根 据 AD∥BC 可 知 ∠ ADC ＝ ∠ ECF ， 再 根 据 E 是 CD 的 中 点 可 求 出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF 即可．证明：(1) AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF. E 是 CD 的中点，∴DE＝EC.又 ∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2) △ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF. BE⊥AE，∴BE 是线段 AF 的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF. AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．【类型三】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用 如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得 AO 平分∠DAC，根据角平分线的性质可得 OE＝OF.解：(1) AB、CD 互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且 AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC 和...
