2.函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏． [回扣问题 1] 函数 f(x)＝的定义域为________．解析 要使函数 f(x)有意义，则 log2x－1≥0，即 x≥2，则函数 f(x)的定义域是[2，＋∞)．答案 [2，＋∞)2．求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[回扣问题 2] 已知 f()＝x＋2，则 f(x)＝________．答案 x2＋2x(x≥0)3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[回扣问题 3] 已知函数 f(x)＝则 f ＝________．答案 4．函数的奇偶性若 f(x)的定义域关于原点对称，f(x)是偶函数f(－x)＝f(x)＝f(|x|); f(x)是奇函数f(－x)＝－f(x)；定义域含 0 的奇函数满足 f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找 f(x)与f(－x)的关系．[回扣问题 4] (1)若 f(x)＝2x＋2－xlg a 是奇函数，则实数 a＝________．(2)已知 f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若 f(lg x)＞f(1)，则 x 的取值范围是________．答案 (1) (2)5．函数的周期性由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得：① 函数 f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则 f(x)是周期 T＝2a 的周期函数；② 若 f(x＋a)＝(a≠0)成立，则 T＝2a；③ 若 f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则 T＝2a.[回扣问题 5] 函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．解析 因为函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以 f(f(15))＝f(f(－1))＝f ＝cos ＝.答案 6．函数的单调性(1)定义法：设 x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0＞0f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0＜0f(x)在[a，b]上是减函数．(2)导数法：注意 f ′(x)＞0 能推出 f(x)为增函数，但反之不一定．如函数 f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)上单调递增，但...
