规范答题示例 4 空间角的计算问题典例 4 (15 分)(2017·浙江)如图，已知四棱锥 P—ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E 为 PD 的中点．(1)证明：CE∥平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．审题路线图方法一 (1)→→→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板方法一 (1)证明 如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EF∥AD 且 EF＝AD，又因为 BC∥AD，BC＝AD，所以 EF∥BC 且 EF＝BC，所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE∥BF.4 分因为 BF⊂平面 PAB，CE⊄平面 PAB，因此 CE∥平面 PAB.6 分(2)解 分别取 BC，AD 的中点为 M，N，连接 PN 交 EF 于点 Q，连接MQ.因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 的中点，在平行四边形 BCEF 中，MQ∥CE.由△PAD 为等腰直角三角形得 PN⊥AD.由 DC⊥AD，N 是 AD 的中点得 BN⊥AD，又 PN∩BN＝N，PN，BN⊂平面 PBN，所以 AD⊥平面 PBN.9 分第一步找平行：通过三角形中位线，找出线线平行进而得到线面平行．第二步找夹角：通过作辅助线及线线、线面及面面之间的关系找到夹角．第三步找关系：由图形找出各线段之间的长度关系，进而求得夹角的正弦值.第四步得结论：得到所求夹由 BC∥AD 得 BC⊥平面 PBN，又 BC⊂平面 PBC，那么平面 PBC⊥平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的投影，所以∠QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角.12 分设 CD＝1.在△PCD 中，由 PC＝2，CD＝1，PD＝得 CE＝，在△PBN 中，由 PN＝BN＝1，PB＝得 QH＝，在 Rt△MQH 中，QH＝，MQ＝，所以 sin∠QMH＝，所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是.15 分角的正弦值.审题路线图方法二 (1)→→→→→(2)→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板方法二 (1)证明 设 AD 的中点为 O，连接 OB，OP. △PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，∴OP⊥AD. BC＝AD＝OD，且 BC∥OD，∴四边形 BCDO 为平行四边形，又 CD⊥AD，∴OB⊥AD， OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面 OPB，∴AD⊥平面 OPB.2 分过点 O 在平面 POB 内作 OB 的垂线 OM，交 PB 于 M，以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OM 所在直...
