第 2 讲 直线与圆锥曲线的位置关系高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，尤其是有关弦的问题以及存在性问题，计算量偏大，属于难点，要加强这方面的专题训练.真 题 感 悟(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).(1)求直线 y＝kx＋1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)；(2)若任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解 (1)设直线 y＝kx＋1 被椭圆截得的线段为 AP，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0.故 x1＝0，x2＝－，因此|AP|＝|x1－x2|＝·.(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k2＞0，k1≠k2.由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，故＝，所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.由于 k1≠k2，k1，k2＞0，得 1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，因此＝1＋a2(a2－2).①因为①式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1＋a2(a2－2)＞1，所以 a＞.因此，任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1＜a≤.由 e＝＝得，所求离心率的取值范围是.考 点 整 合1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程 .若 Δ＞0，则直线与椭圆相交；若 Δ＝0，则直线与椭圆相切；若 Δ＜0，则直线与椭圆相离.(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去 y(或 x)，得到一个一元方程 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0).① 若 a≠0，则当 Δ＞0 时，直线与双曲线相交；当 Δ＝0 时，直线与双曲线相切；当 Δ＜0 时，直线与双曲线相离.② 若 a＝0，则直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线的方程联立，消去 y(或 x)，得到一个一元方程 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0).① 当 a≠0 时，用 Δ 判定，方法同上.② 当 a＝0 时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝|x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使...
