第 3 讲 圆锥曲线的综合问题[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例 1 (2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为的椭圆 C：＋＝1(a>b>0)过点 P，与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，其中 M 为 A 关于 y 轴的对称点，N(0，)，O为坐标原点．(1)求椭圆 C 的方程；(2)分别记△PAO，△PBO 的面积为 S1，S2，当 M，N，B 三点共线时，求 S1·S2的最大值．解 (1) ＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2b.把点 P 代入椭圆方程可得＋＝1，解得 a＝2，b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)设点 A 坐标为(x1，y1)，点 B 坐标为(x2，y2)，则 M 为(－x1，y1)，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b，联立椭圆方程可得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ>0， M，N，B 三点共线，∴kMN＝kBN，即＋＝0，化简得 8k(1－b)＝0，解得 b＝或 k＝0(舍去)．设 A，B 两点到直线 OP 的距离分别为 d1，d2.直线 OP 的方程为 x－2y＝0，|OP|＝，∴S1·S2＝|(x1－2y1)(x2－2y2)|，化简可得S1·S2＝|(2k－)2x1x2＋(2k－)(x1＋x2)＋2|＝.又∈∪，∴当 k＝－时，S1·S2的最大值为.思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练 1 (2018·绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，直线 l：y＝kx－4(1，得 42－17·＋4>0，解得>4 或<.因为 0<<1，所以 0<<，...
