§2.8 函数与方程考纲展示► 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．考点 1 函数零点所在区间的判定1.函数零点的定义对于函数 y＝f(x)，把使________成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．答案：f(x)＝02．几个等价关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数 y＝f(x)有________．答案：x 轴 零点3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数 y＝f(x)在区间________上有零点，即存在 c∈(a，b)，使得________，这个________也就是方程 f(x)＝0 的根．答案：f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 c4．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．答案：f(a)·f(b)<0 一分为二函数零点理解的误区：零点的概念；零点的个数．(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的________．答案：(1)交点的横坐标解析：函数的零点不是函数图象与 x 轴的交点，而是图象与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(2)若图象连续不断的函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调且 f(a)·f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有________零点．答案：唯一解析：根据零点存在性定理可知，函数 y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，再根据单调性可得零点唯一．二次函数的零点．(1)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是________．答案：ac<0解析：数形结合知，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是 af(0)<0，即 ac<0.(2)函数 y＝(k－8)x2＋x＋1 至多有一个零点，则 k 的取值范围为________．答案：解析：函数至多有一个零点，则：①当 k＝8 时，令 x＋1＝0，即 x＝－1，有一个零点，符合题意；② 当 k≠8 时，令 Δ＝1－4(k－8)≤0，解得 k≥.故 k 的取值范围为.[典题 1] (1)[2017·湖北四地七校联盟高三联考]函数 f(x)＝πx＋log2x 的零点所在区间为( )A.B．C.D．[答案] A[解析] f＝＋log2＝－2<0，f＝－1>0，即 f·f<0，因此在上至少有一个零点．故选 A.(2)[20...
