微点深化 极化恒等式的应用1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.2.平行四边形 PMQN，O 是对角线交点.则：(1)PM·PN＝[|PQ|2－|NM|2](平行四边形模式)；(2)PM·PN＝|PO|2－|NM|2(三角形模式).【例题】 (1)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.(2)(2018·上海调研)已知正三角形 ABC 内接于半径为 2 的圆 O，点P 是圆 O 上的一个动点，则PA·PB的取值范围是________.解析 (1)因为 M 是 BC 的中点，由极化恒等式得：AB·AC＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16.(2)取 AB 的中点 D，连接 CD，因为三角形 ABC 为正三角形，所以 O 为三角形 ABC 的重心，O在 CD 上，且 OC＝2OD＝2，所以 CD＝3，AB＝2.又由极化恒等式得：PA·PB＝|PD|2－|AB|2＝|PD|2－3，因为 P 在圆 O 上，所以当 P 在点 C 处时，|PD|max＝3，当 P 在 CO 的延长线与圆 O 的交点处时，|PD|min＝1，所以PA·PB∈[－2，6].答案 (1)－16 (2)[－2，6]探究提高 1.在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.2.涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围，最值即可求出.【题组训练】 (1)(2018·诸暨适应性考试)已知 AB 是圆 O 的直径，AB 长为 2，C 是圆 O 上异于 A，B 的一点，P 是圆 O 所在平面上任意一点，则(PA＋PB)·PC的最小值为( )A.－ B.－ C.－ D.－1解析 PA＋PB＝2PO，∴(PA＋PB)·PC＝2PO·PC，取 OC 中点 D，由极化恒等式得，PO·PC＝|PD|2－|OC|2＝|PD|2－，又|PD|＝0，∴(PA＋PB)·PC的最小值为－.答案 C(2) 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是( )A.44 B.22 C.24 D.72解 析 如 图 ， 取 AB 中 点 E ， 连 接 EP 并 延 长 ， 交 AD 延 长 线 于F，AP·BP＝＝＝2，∴EP＝3，又 CP＝3PD，AE＝EB，AB＝DC，∴AE＝2DP，即△FAE 中，DP 为中位线，AF＝2AD＝10，AE＝AB＝4，FE＝2PE＝6，AD·AB＝AF·AE＝＝＝22.答案 B(3)若点 O 和点 F 分别为椭圆＋＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为( )A.2 B.3 C.6 D.8解析 如图，由已知...
