§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式考纲展示► 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．考点 1 三角函数公式的基本应用 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________________；cos(α∓β)＝________________；tan(α±β)＝.答案：sin αcos β±cos αsin βcos αcos β±sin αsin β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝________________；cos 2α＝______________＝______________＝______________；tan 2α＝.答案：2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α(1)[教材习题改编]计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________.答案：(2)[教材习题改编]已知 cos α＝－，α∈，则 sin 的值是________．答案：解析：因为 cos α＝－，α∈，所以 sin α＝，所以 sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.公式使用中的误区：角的范围；公式的结构．(1)若函数 f(α)＝，则 α 满足 2tan α≠1，且 α≠________.答案：kπ＋(k∈Z)解析：要使函数 f(α)＝有意义，则 1－2tan α≠0，tan α 有意义，所以 2tan α≠1，则 α≠kπ＋(k∈Z)．(2)化简：sin x－cos x＝________.答案：sin解析：sin x－cos x＝cos sin x－sin cos x＝sin.[典题 1] (1)[2017·江西新余三校联考]已知 cos＝－，则 sin 的值为( )A. B. C．± D．±[答案] C[解析] 因为 cos＝cos＝，所以有 sin2＝×＝，从而求得 sin 的值为±，故选 C.(2)已知 cos θ＝－，θ∈，则 sin 的值为________．[答案] [解析] 由 cos θ＝－，θ∈得sin θ＝－＝－，故 sin＝sin θcos －cos θsin ＝－×－×＝.(3)设 sin 2 α ＝－ sin α ， α ∈ ，则 tan 2α 的值是________．[答案] [解析] sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－.又 α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝－＝.[点石成金] 三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点 2 三角函数公式的逆用与变形应用公式的常用变形(1)tan α±tan β...
