§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考纲展示► 考点 1 平面向量基本定理及其应用1.平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，________一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．答案：不共线 有且只有 基底2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交分解．答案：互相垂直向量相等的常见两种形式：用基底表示的向量相等；用坐标表示的向量相等．(1)已知向量 a，b 不共线，若 λ1a＋b＝－a＋μ1b，则 λ1＝__________，μ1＝__________.答案：－1 1解析：根据平面向量基本定理，用一组基底表示一个向量，基底的系数是唯一的，则有λ1＝－1，μ1＝1.(2)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，若 c＝λa＋μb，则 2λ＋μ ＝__________.答案：0解析：由 c＝λa＋μb，得(3,4)＝λ(1,2)＋μ(2,3)＝(λ＋2μ，2λ＋3μ)，∴ 解得 故 2λ＋μ＝0.向量易忽略的两个问题：向量的夹角；单位向量．(1)等边三角形 ABC 中，若AB＝a，BC＝b, 则 a，b 的夹角为__________．答案：120°解析：求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，因此 a，b 的夹角为 120°.(2)已知 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB共线的单位向量为__________．答案：或解析：由已知得AB＝(3，－4)，所以|AB|＝5，因此与AB共线的单位向量为AB＝或－AB＝. [典题 1] (1)如果 e1，e2是平面 α 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A．e1与 e1＋e2 B．e1－2e2与 e1＋2e2C．e1＋e2与 e1－e2 D．e1＋3e2与 6e2＋2e1[答案] D[解析] 选项 A 中，设 e1＋e2＝λe1，则无解；选项 B 中，设 e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项 C 中，设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项 D 中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．(2)[2017·山东济南调研]如图，在△ABC 中，AN＝NC，P 是 BN 上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数 m 的值为________．[答案] [解析] 设BP＝kBN，k∈R.因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k＝(1－k)AB＋AC，且AP＝mAB＋AC，所以解得[点石成金] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情...
