§5.4 平面向量应用举例考纲展示► 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．考点 1 向量在平面几何中的应用 向量在几何中的应用a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1) 证 明 线 线 平 行 或 点 共 线 问 题 ， 常 用 共 线 向 量 定 理 ： a∥b⇔a ＝λb⇔____________(b≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔____________.(3)平面几何中夹角与线段长度计算：①cos a，b＝＝________________；②|AB|＝|AB|＝＝____________.答案：(1)x1y2－x2y1＝0 (2)x1x2＋y1y2＝0(3)① ②[典题 1] 已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A．内心 B．外心C．重心 D．垂心[答案] C[解析] 由OP＝OA＋λ(AB＋AC)，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)．根据平行四边形法则知，AB＋AC是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD的 2 倍，所以点 P的轨迹必过△ABC 的重心．[题点发散 1] 在本例中，若动点 P 满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案：A解析：由条件，得OP－OA＝λ，即AP＝λ·.而和分别表示平行于AB，AC的单位向量，故＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的内心．[题点发散 2] 在本例中，若动点 P 满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案：D解析：由条件，得AP＝λ，从而AP·BC＝λ＝λ·＋λ·＝0，∴AP⊥BC，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．[点石成金] 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则 λ 的值为________．答案：2解析：解法一：如图，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋AB，∴AE·AF＝·＝AB·BC＋AB2＋BC2＝×2×2×cos 120°＋＋＝1，解得 λ＝2.解法二：建立如图所示平面直角坐标系．由题意知，A(0,1)，C(0，－1)，B(－，0)，D(，0)．由 BC...
