第 5 讲 椭圆最新考纲 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.椭圆的定义在平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c 为常数：(1)若 a ＞ c ，则集合 P 为椭圆；(2)若 a ＝ c ，则集合 P 为线段；(3)若 a ＜ c ，则集合 P 为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2的长为 2 a ；短轴 B1B2的长为 2 b 焦距|F1F2|＝2 c 离心率e＝∈(0 ， 1 ) a，b，c 的关系c2＝a 2 － b 2 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( )(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.( )(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为 e＝＝＝，所以 e 越大，则越小，椭圆就越扁.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.(2015·广东卷)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4，0)，则 m＝( )A.2 B.3 C.4 D.9解析 依题意有 25－m2＝16， m>0，∴m＝3.选 B.答案 B3.已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 于A，B 两点.若△AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为( )A.＋＝1 B.＋y2＝1C.＋＝1 D.＋＝1解析 由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a，所以 4a＝4，故 a＝，又由 e＝＝，得 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，则 C 的方程为＋＝1，故选 A.答案 A4.(2016·全国Ⅰ卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.解析 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点 F(c，0)，则直线 l 的方程为...
