第 8 讲 曲线与方程最新考纲 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知 识 梳 理1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解满足如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点 P(x，y).(3)列式——列出动点 P 所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，将其转化为 x，y 的方程式，并化简.(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点设曲线 C1的方程为 F1(x，y)＝0，曲线 C2的方程为 F2(x，y)＝0，则 C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解.若此方程组无解，则两曲线无交点.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条件.( )(2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线.( )(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )(4)方程 y＝与 x＝y2表示同一曲线.( )解析 对于(2)，由方程得 x(x＋y－1)＝0，即 x＝0 或 x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线 y＝是曲线 x＝y2的一部分，错误.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x，y)＝0 的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A.满足方程 f(x，y)＝0 的点都在曲线 C 上B.方程 f(x，y)＝0 是曲线 C 的方程C.方程 f(x，y)＝0 所表示的曲线不一定是曲线 CD.以上说法都正确解析 曲线 C 可能只是方程 f(x，y)＝0 所表示的曲线的一部分，因此答案 C 正确.答案 C3.已知 M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点 P 的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线左支C.一条射线 D.双曲线右支解析 由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线.答案 C4.已知 M(－2，0)，N(2，0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是________.解析 连接 OP，则|OP|＝2，∴P 点轨迹是去掉 M，...
