第 3 讲 等比数列及其前 n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q≠0)表示.数学语言表达式：＝q(n≥2，q 为非零常数)，或＝q(n∈N*，q 为非零常数).(2)如果三个数 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，其中 G＝±.2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an＝a1q n － 1 ；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝＝.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前 n 项和.(1)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有 ak·al＝am· a n.(2)等比数列{an}的单调性：当 q＞1，a1＞0 或 0＜q＜1，a1＜0 时，数列{an}是递增数列； 当 q＞1，a1＜0 或 0＜q＜1，a1＞0 时，数列{an}是递减数列；当 q＝1 时，数列{an}是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为q m .(4)当 q≠－1，或 q＝－1 且 n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 q n .诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数.( )(2)公比 q 是任意一个常数，它可以是任意实数.( )(3)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( )(4)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝.( )(5)数列{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )解析 (1)在等比数列中，an≠0.(2)在等比数列中，q≠0.(3)若 a＝0，b＝0，c＝0 满足 b2＝ac，但 a，b，c 不成等比数列.(4)当 a＝1 时，Sn＝na.(5)若 a1＝1，q＝－1，则 S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2.(2017·太原模拟)在单调递减的等比数列{an}中，若 a3＝1，a2＋a4＝，则 a1＝( )A.2 B.4 C. D.2解析 在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又 a2＋a4＝，数列{an}为...
