第 6 讲 数学归纳法最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知 识 梳 理1.数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n 0( n 0∈ N * ) 时命题成立；(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立.2.数学归纳法的框图表示诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证 n＝1 时，左边式子应为 1＋2＋22＋23.( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项.( )解析 对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由 n＝k 到 n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(选修 2－2P99B1 改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验 n 等于( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验 n＝3.答案 C3.已知 f(n)＝＋＋＋…＋，则( )A.f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝＋B.f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝＋＋C.f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝＋D.f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝＋＋解析 f(n)共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，＝，＝，故 f(2)＝＋＋.答案 D4.用数学归纳法证明 1＋＋＋…＋1)，第一步要证的不等式是________.解析 当 n＝2 时，式子为 1＋＋<2.答案 1＋＋<25.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除”，当第二步假设 n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证 n＝________时，命题亦真.解析 由于步长为 2，所以 2k－1 后一个奇数应为 2k＋1.答案 2k＋16.(2017·宁波调研)用数学归纳法证明“当 n 为正偶数时，xn－yn能被 x＋y 整除”第一步应验证 n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________.解析 因为 n 为正偶数，故第一个值 n＝2，第二步假设 n 取第 k 个正偶数成立，即 n＝2k，故应假...
