第 2 讲 导数与函数的单调性最新考纲 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系已知函数 f(x)在某个区间内可导，(1)如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果 f′(x)＜0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f′(x)；(3)由 f′(x)＞0(或＜0)解出相应的 x 的取值范围.当 f′(x)＞0 时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当 f′(x)＜0 时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.3.已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数 f(x)求导，得到 f′(x)；(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f′(x)≥0 恒成立；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f′(x)≤0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有 f′(x)＝0.若 f′(x)＝0 恒成立，则函数 f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性.( )(3)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件.( )解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有 f′(x)≥0.(2)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件.答案 (1)× (2)√ (3)×2.函数 f(x)＝ex－x 的单调递增区间是( )A.(－∞，1] B.[1，＋∞)C.(－∞，0] D.(0，＋∞)解析 令 f′(x)＝ex－1>0 得 x>0，所以 f(x)的递增区间为(0，＋∞).答案 D3.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)的图象最有可能是( )解析 由 y＝f′(x)的图象易知当 x＜0 或 x＞2 时，f′(x)＞0，故函数 y＝f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增；当 0＜x＜2 时，f′(x)＜0，故函数 y＝f(x)在区间(0，2)上单调递减.答案 C4.(2014·全国Ⅱ卷)若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则 k 的取值范围是( )A.(－∞，－2] B.(－∞，－1]C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)解析 依题意得 f′(x)＝k－≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 k≥在(1，＋∞)上恒成立， x＞1，∴0＜＜1，∴k≥1，...
