第 3 讲 导数与函数的极值、最值最新考纲 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知 识 梳 理1.函数的极值与导数(1)判断 f(x0)是极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续且 f′(x0)＝0，① 如果在 x0附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值；② 如果在 x0附近的左侧 f′(x)≤0，右侧 f′(x)≥0，那么 f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤① 求 f′(x)；② 求方程 f ′( x ) ＝ 0 的根；③ 检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数 f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：① 求 f(x)在(a，b)内的极值；② 将 f(x)的各极值与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( )(2)函数的极大值不一定比极小值大.( )(3)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0点为极值点的充要条件.( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为 f(x)的极值点的充要条件是 f′(x0)＝0，且 x0两侧导数符号异号.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2.函数 f(x)＝－x3＋3x＋1 有( )A.极小值－1，极大值 1 B.极小值－2，极大值 3C.极小值－2，极大值 2 D.极小值－1，极大值 3解析 因为 f(x)＝－x3＋3x＋1，故有 y′＝－3x2＋3，令 y′＝－3x2＋3＝0，解得 x＝±1，于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极大值极小值所以 f(x)的极小值为 f(－1)＝－1，f(x)的极大值为 f(1)＝3.答案 D3.(选修 2－2P32A4 改编)如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由题意知在 x＝－1 处 f′(－...
