专题研究课一 高考中函数与导数问题的热点题型高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题：研究函数的性质(如求单调区间、求极值、最值)，研究函数的零点(或方程的根、曲线的交点)，研究不等式.热点一 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例 1】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求实数 a 的取值范围.解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若 a≤0，则 f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若 a＞0，则当 x∈时，f′(x)＞0；当 x∈时，f′(x)＜0，所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减.综上，知当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a＞0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当 a＞0 时，f(x)在 x＝处取得最大值，最大值为 f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.因此 f＞2a－2 等价于 ln a＋a－1＜0.令 g(a)＝ln a＋a－1，则 g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当 0＜a＜1 时，g(a)＜0；当 a＞1 时，g(a)＞0.因此，实数 a 的取值范围是(0，1).探究提高 (1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解 ln a＋a－1<0，则需要构造函数来解.【训练 1】 已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e 为自然对数的底数).(1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若函数 f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数 a 的取值范围.解 (1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以 f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令 f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因为 ex>0，所以－x2＋2>0，解得－
