第 4 讲 数系的扩充与复数的引入最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如 a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为 a，虚部为 b若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 a＝0且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c 且 b ＝ d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a ＝ c 且 b ＝－ d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴 叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为 z＝a＋bi，则向量OZ的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模|z|＝|a＋bi|＝2.复数的几何意义复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数 z＝a＋bi复平面内的点 Z ( a ， b ) (a，b∈R).(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.3.复数的运算设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则① 加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；② 减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③ 乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④ 除法：＝＝＝(c＋di≠0).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 .( )解析 (1)虚部为 b；(2)虚数不可以比较大小答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a＝( )A.－3 B.－2 C.2 D.3解析 因为(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以 a－2＝2a＋1，解得 a＝－3，故选 A.答案 A3.(选修 2－2P112A2 改编)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( )A.4＋8i B.8＋2i C.2＋4i D.4＋i解析 A(6，5)，B(－2，3)，∴线段 AB 的中点 C(2，4)，则点 C...
