第 5 讲 函数的单调性与最值1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2当 x10,则 kf(x)与 f(x)单调性相同;若 k<0,则 kf(x)与 f(x)单调性相反. (3)函数 y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y=-f(x),y=1f ( x )的单调性相反.(4)函数 y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与 y=❑√f ( x )的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.2.单调性定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 或f ( x1)-f ( x2)x1- x2>0,则 f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 或f ( x1)-f ( x2)x1- x2<0,则 f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.3.函数最值的两条结论:(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.题组一 常识题1.[教材改编] 函数 f(x)=(2a-1)x-3 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 . 2.[教材改编] 函数 f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是 ;单调递减区间是 . 3.[教材改编] 函数 f(x)= 3x+1(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于 . 4.[教材改编] 函数 f(x)=|x-a|+1 在[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 . 题组二 常错题◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“...
