第 6 讲 函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x都有 ,那么函数f(x)是偶函数 都有 ,那么函数 f(x)是奇函数 图像特征关于 对称 关于 对称 2.函数的周期性(1)周期函数对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作 f(x)的最小正周期. 常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式:(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.2.设 f(x)的最小正周期为 T,对 f(x)的定义域内任一自变量的值 x,(1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2|a|;(2)若 f(x+a)=1f ( x ),则 T=2|a|;(3)若 f(x+a)=f(x+b),则 T=|a-b|.3.对称性与周期性之间的常用结论:(1)若函数 f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称,则函数 f(x)的周期 T=2|b-a|;(2)若函数 f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数 f(x)的周期 T=2|b-a|;(3)若函数 f(x)的图像关于直线 x=a 和点(b,0)对称,则函数 f(x)的周期 T=4|b-a|.4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:(1)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=f(a-x),则函数 f(x)的图像关于直线 x=a 对称;(2)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)的图像关于直线 x=a+b2对称;(3)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=-f(b-x),则 f(x)的图像关于点(a+b2,0)对称;(4)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)+f(b-x)=c,则函数 f(x)的图像关于点(a+b2, c2)对称.题组一 常识题1.[教材改编] 函数 f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=1x+|x|中,偶函数的个数是 . 2.[教材改编] 若奇函数 f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是 函数;若偶函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是 函数. 3.[教材改编] 已知 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=❑√ x-1,则 f(-2)= . 4.[教材改编] 已知函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 x∈[0,1]时,f(x)=log4(x2+4),则f(2019)= . 题组二 常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性不能有效变化;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.5.函数 f(x)=lg(1- x2)| x+3|- 3是 函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”) 6.若函数 y=f(x+a)是偶函数,则...
