第 11 讲 函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 的实数 x 叫作函数 y=f(x)(x∈D)的零点. (2)等价关系方程 f(x)=0 有实数根函数⇔y=f(x)的图像与 有交点函数⇔y=f(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 ,这个 也就是方程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与 x 轴的交点 无交点零点个数 常用结论1.在区间 D 上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.题组一 常识题1.[教材改编] 函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点的个数是 . 2.[教材改编] 如果函数 f(x)=ex-1+4x-4 的零点在区间(n,n+1)(n 为整数)内,则 n= . 3.[教材改编] 函数 f(x)=x3-2x2+x 的零点是 . 4.[教材改编] 若函数 f(x)=x2-4x+a 存在两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 . 题组二 常错题◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在 R 上无零点的充要条件(判别式小于零).5.函数 f(x)=x+1x的零点个数是 . 6.函数 f(x)=x2-3x 的零点是 . 7.若二次函数 f(x)=x2-2x+m 在区间(0,4)上存在零点,则实数 m 的取值范围是 . 8.若二次函数 f(x)=x2+kx+k 在 R 上无零点,则实数 k 的取值范围是 . 探究点一 函数零点所在区间的判断例 1 (1)函数 f(x)=ex-x-2 在下列哪个区间上必有零点 ( ) A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3) (2)已知函数 f(x)=lg x+54 x-5 在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则 n= . [总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与 x 轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.变式题 [2018·南昌模拟] 函数 f(x)=ln(x+1)- 2x2的零点所在的区间为( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)探究点二 函数零点个数的讨论例 2 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f -32+x =f(32+ x),当 x∈(0, 32)时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 ( )A.3 B.5 C.7 D.9(2)[2018·河南中原名校模拟] 函数 f(x)=sin 2x+π2-log3πx 的...
