第 13 讲 变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数(1)平均变化率:概念对于函数 y=f(x),f ( x2)-f ( x1)x2- x1= Δ yΔ x叫作函数 y=f(x)从 x1到 x2的 变化率 几何意义函数 y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 物理意义若函数 y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则 Δ yΔ x就是该质点在[x1,x2]上的 速度 (2)导数:概念点 x0处limΔ x→0 Δ yΔ x= limΔ x→0 f ( x0+ Δ x)-f ( x0)Δ x,我们称它为函数 y=f(x)在 处的导数,记为 f'(x0)或 y'|x=x0,即 f'(x0)= limΔ x→0 Δ yΔ x= limΔ x→0 f ( x0+ Δ x)-f ( x0)Δ x区间(a,b)当 x∈(a,b)时,f'(x)= limΔ x→0 Δ yΔ x= limΔx →0 ¿ 叫作函数在区间(a,b)内的导数 几何意义函数 y=f(x)在点 x=x0处的导数 f'(x0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是 物理意义函数 y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在 x=x0处的导数就是质点在 x=x0时的 速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的 方程 2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数C'=0(C 为常数)幂函数(xn)'= (n∈Z) (1x)'=- 1x2三角函数(sin x)'= ,(cos x)'= 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)'= (a>0,且 a≠1) (ex)'=ex对数函数(logax)'= (a>0,且 a≠1) (ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'= ( ∑i=1nf i( x ))'=∑i=1n f'i(x)乘法 [f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法[f ( x)g( x )]'= (g(x)≠0)[1g( x )]'=-g'( x)[ g( x )]2复合函数求导复合函数 y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系 y'x= ,这个关系用语言表达就是“y 对 x 的导数等于 y 对u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积” 题组一 常识题1.[教材改编] 向气球中充入空气,当气球中空气的体积 V(单位:L)从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径 r(单位:dm)的平均变化率约为 . 2.[教材改编] 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x%时所需费用(单位:元)为 c(x)= 5284100- x(80
