第 14 讲 导数与函数的单调性函数的单调性与导数导数到单调性单调递增在区间(a,b)上,若 f'(x)>0,则 f(x)在这个区间上单调 单调递减在区间(a,b)上,若 f'(x)<0,则 f(x)在这个区间上单调 单调性到导数单调递增若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x) 单调递减若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x) “函数 y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于 0”是“其单调递增(减)”的 条件 题组一 常识题1.[教材改编] 函数 f(x)=ex-x 的单调递增区间是 . 2.[教材改编] 比较大小:x ln x(x∈(1,+∞)). 3.[教材改编] 函数 y=ax3-1 在(-∞,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围为 . 4.[教材改编] 已知 f(x)是定义在 R 上的可导函数,函数 y=ef'(x)的图像如图 2-14-1 所示,则f(x)的单调递减区间是 . 图 2-14-1题组二 常错题◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.5.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)上为增函数,则 k 的取值范围是 . 6.若函数 f(x)=ln x-1x,则不等式 f(1-x)>f(2x-1)的解集为 . 7.函数 f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为 . 8.讨论函数 y=ax3-x 在 R 上的单调性时,a 应分 、 、 三种情况讨论. 探究点一 函数单调性的判断或证明例 1 [2018·商丘二模] 已知函数 f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中 m 为常数,且 m>-e2.讨论函数f(x)的单调性. [总结反思] 用导数法判断和证明函数 f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤:(1)求 f'(x).(2)确认 f'(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).(3)得出结论:f'(x)>0 时,函数 f(x)为增函数;f'(x)<0 时,函数 f(x)为减函数.变式题 已知函数 f(x)=(x+ ax)ex,a∈R.(1)求 f(x)的零点;(2)当 a≥-5 时,求证:f(x)在区间(1,+∞)上为增函数. 探究点二 求函数的单调区间例 2 [2018·北京朝阳区一模] 已知函数 f(x)=ln x-1x-ax(a∈R). (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若 a<-1,求函数 f(x)的单调区间. [总结反思] (1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.(2)所有求解和讨论都必须在函...
