第 15 讲 导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则点 a 叫作函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数 y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值:函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点 x=b 附近的左侧 ,右侧 ,则点 b 叫作函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数 y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值. 3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈D,f(x)>M∀x∈D,f(x)min>M∀x∈D,f(x)M∀x∈D,f(x)max>M∃x0∈D,f(x0)g(x)∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0∀x∈D,f(x)g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)max(续表)不等式类型与最值的关系∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)min∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)max∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一 常识题1.[教材改编] 函数 f(x)=x3-3x2+1 的极小值为 . 2.[教材改编] 函数 f(x)=x3-12x 在区间[-3,3]上的最大值是 . 3.[教材改编] 当 x>0 时,ln x,x,ex的大小关系是 . 4.[教材改编] 现有一块边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是 . 题组二 常错题◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.5.若函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 处取得极值 10,则 a+b= . 6.函数 g(x)=-x2的极值...
