坐标系与参数方程第一节 坐 标 系本节主要包括 2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系.突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．判断题(1)平面直角坐标系中点 P(－2,3)在变换 φ：的作用下得到的点为 P′(－1,1)．( )(2)已知伸缩变换 φ：经 φ 变换得到点 A′(2,4)，则原来点的坐标为 A(4，－2)．( )答案：(1)√ (2)×2．填空题(1)直线 l：x－2y＋3＝0 经过 φ：变换后得到的直线 l′方程为________________．解析：设 l′上的任一点 P(x′，y′)由题得代入 x－2y＋3＝0 得 x′－y′＋3＝0，直线 l′的方程为 x－y＋3＝0.答案：x－y＋3＝0(2)已知平面直角坐标系中点 A(－2,4)经过 φ 变换后得 A′的坐标为，则伸缩变换 φ为________．解析：设伸缩变换 φ：则有解得∴φ：答案：φ：平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线 C：x2－＝1 经过 φ：变换后所得曲线 C′的焦点坐标．[解] 设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，由题意，将代入 x2－＝1得－＝1，化简得－＝1，即－＝1 为曲线 C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点 P 的坐标(x，y)与变换后的点 P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系．(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为方程 f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式． 1．求直线 l：y＝6x 经过 φ：变换后所得到的直线 l′的方程．解：设直线 l′上任意一点 P′(x′，y′)，由题意，将代入 y＝6x 得 2y′＝6×，所以 y′＝x′，即直线 l′的方程为 y＝x.2．在同一平面直角坐标系中，将直线 x－2y＝2 变成直线 2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为代入第二个方程，得 2λx－μy＝4，与 x－2y＝2 比较系数得 λ＝1，μ＝4，即因此，经过变换后，直线 x－2y＝2 变成直线 2x′－y′＝4.3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线 C：x2＋y2＝36 变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆 x2＋y2＝...
