高一数学上 3.4《应用函数奇偶性》素材 沪教版

应用函数奇偶性解题函数奇偶性是函数的重要特征之一，它充分地体现了变量间的辩证统一关系.从数、形上揭示了函数的对称性.在解题教学中，深挖题目隐含条件，依据奇偶函数的性质，使一些问题独辟蹊径，解法简单化，有柳暗花明又一村之感.一、利用函数奇偶性求函数值例 1 已知 f（x）,.10)2(832fbxaxx且求 f(x)..6828)2()2(,2)2()2(,2)2(,108)2()2(,8)()()(,8)()(,)(:35gfggggfxgxfxgxgxfbxaxxxg是奇函数则设解评注：挖掘 f(x)隐含条件，构造奇函数 g(x)，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.二、利用函数奇偶性证明整除问题例 2 试证1991)19911()19911(19901990是整数.（《数学通报》1996 年 4 月号问题 1007）上例可推广为：设 m、n 为自然数，证明mmmnn)1()1(是整数.证 明 ： 令上的奇函数为易证记RxfRxxxxfxmnn)(,,)1()1()(,， 故f(x) 是 x 的 奇 次 幂 的 整 系 数 多 项 式 ， 那 么故式的偶次幂的整系数多项是,)(xxxfmmmnn)1()1(是整数.评注：本证明构造奇函数 f(x)，利用奇函数性质得出证明，比利用二项式定理证明简捷.三、利用函数奇偶性，解有关方程问题.例 3 当实数 k 取何值时，方程组1,1||)1(224yxyxxk有惟一实数解.解 ： 观 察 方 程 组 中 每 个 方 程 特 点 ， 以 -x 代 替 x ， 方 程 组 不 变 ， 若),(,),(0000yxyx则是方程组的解也一定是它的解，而方程组有唯一解，必有 x0=0，即唯一解的形式应为（0，y0）代入方程组得：11200yyk解得用心 爱心 专心代入原方程组有唯一解将代入原方程组得解将或2.1,00.1,0,120kyxkykyk.,02.1,0原方程组有唯一解时和当kkyx评注：用函数的观点来研究方程，应用函数的奇偶性，找出解决问题的突破口.四、利用函数奇偶性证明不等式.例 4 设 a 是正数，而}||2|||)},{(},1|),{(22ayxyxByxyxA是 XOY 平面内的点集，则BA 的一个充分必要条件是5a（1986 年上海中学生竞赛题）.证明：考查ayxyx||2||,122，以–x 替换 x ，–y 替换 y, A、B 不变.从而知 A、B关于 x 轴，y 轴对称.故只研究第一象限中 A、B 关系即可.BA 1020,0距离不小于到原点ayx即：5,121|020|22aa.评注：本解法依据函数图象的对称性，简捷得出证明.用心 爱心 专心