高三理科数学《第 19 讲 数列求和》（1）知识要点：数列求和的常用方法1．公式法；2．倒序相加法；3．错位相减法；4．分组转化法；5．裂项相消法．1．公式法；2．倒序相加法．3．错位相减法．4．分组转化法．5．裂项相消法．习题讲解 练习求下列各项的和（1）Sn=1+（3+4）+（5+6+7）+…+（2n – 1+2n+…+3n –2）（2）Sn=12–22+32– 42+…+（– 1n–1·n2【解析】（1）∵an=（2n–1）+2n+（2n+1）+…+[（2n – 1）+ n – 1] =，∴Sn=…+n2）–(1+2+…+n)=.（2）当 n 是偶数时， [(n–1)2–n2]= –3–7…–(2n+1) =.当 n 是奇数时，Sn=1+（32–22）+（52– 42）+…+ [n2– (n–1)] =1 + 5 + 9 +…+（2n–1）=.故 Sn=.小结高三理科数学《第 19 讲 数列求和》（2）例 1 已知数列{an}满足 a1 = 1，(n∈N *，n＞1). （1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{ anan + 2}的前 n 项和 Sn；（3）设(a∈R)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.【解析】（1）当 n≥2 时，由得：an – 1 – an – 2 an – 1 an = 0，两边同除 an an – 1，得∴{}是以为首项，d = 2 为公差的等差数列.（2）由（1）知，= 1 + ( n – 1 )×2 = 2n – 1，∴an =∴an an +2 =，…+（3）∵bn =∴，当 a = 0 时，Tn = 0；当 a = 1 时，Tn = n2；当 a≠0 且 a≠1 时，由于 Tn = a + 3a2 + 5a3 +…+(2n – 1)an ①∴aTn = a2 + 3a3 + 5a4+…+(2n – 1)an + 1 ②① – ② 得：(1 – a)Tn = a + 2(a2 + a3 +…+an) – (2n – 1)an + 1，∴，故例 2 如果有穷数列 a1，a2，…，am(m 为正整数)满足条件 a1 = am，a2 = am – 1 …，am = a1，即ai = am – i + 1 (i = 1，2，…，m )，我们称其为“对称数列”.例如，数列 1，2，5，2，1 与数列 8，4，2，2，4，8 都是“对称数列”.（1）设{bn}是 7 项的“对称数列”，其中 b1，b2，b3，b4是等差数列，且 b1 = 2，b4 = 11，依次写出{bn}的每一项；（2）设{cn}是 49 项的“对称数列”，其中 c25，c26，…，c49是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求{cn}的各项的和 S；（3）设{dn}是 100 项的“对称数列”，其中 d51，d52，…，d100是首项为 2，公差为 3的等差数列，求{dn}前 n 项的和 Sn(n = 1，2，…100).【解析】（1）设数列{bn}前四项的差为 d，则 b4 = b1 + 3d = 2 + 3d = 11，解得 d = 3，∴数列{bn}为 2，5，8，11，8，5，2.（2）S = c1 + c2+…+c49 = 2(c25 + c26 +…+ c49) – c25 = 2 (1 + 2 + 22 + …224) – 1 = 2 (225 – 1) – 1 = 226 – 3 = 67108861.（3）d51 = 2，d100 = 2 + 3×(50 – 1) = 149.由题意得 d1，d2，…，d50是首项为 149，公差为 – 3 的等差数列，当 n≤50 时，Sn = d1 + d2 + … + dn.= 149n +当 51≤n≤100 时，Sn = d1 + d2 + … + dn= S50 + (d51 + d52 + … + dn)= 3775 + 2×(n – 50) + =综上所述，Sn =
