一轮复习学案 §4.5.基本不等式及其应用 ☆复习目标： 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用； 利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．☻基础热身： 1.若，且，则的最大值是 . 2. 已知那么的最小值是 （ ） 3.下列结论正确的是（ ） 当且时，则 当时， 当≥时，的最小值为 当时，无最大值☻知识梳理：1.基本不等式≥ （1）基本不等式成立的条件： （2）不等式中等号成立的条件： 2.几个常用的不等式 ① ② ③ 如果，则 3.均值定理: 利用基本不等式求最值问题： 1 .当两个正数的和一定时，其乘积有最 值，最 值为 ； 2 .当两个正数的积一定时，其和有最 值，最 值为 . 3 .特别提醒：①利用基本不等式求最值常常需要“三凑”： 凑 ，凑 ，凑 . ② 当使用均值定理等号不能成立时，应考虑函数的 . (例如“倒数和”函数，导数法）. ☆案例分析：例 1.求下列函数的最值： ； 例 2. 求下列函数的最值： （1）； （2） ； （3）.例 3.(1)设，，且，则( ) 变式：已知正数、满足,则的最大值是 。 （2）已知（为常数），，求的最小值 （3）已知，，且，求 的最大值.例 4. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了广告牌稳固，要求 AC 的长度越短越好，求 AC 最短为多少米？且当 AC 最短时，BC 长度为多少米？参考答案:例 4 解析：设 BC=a(a>1),AB=c,AC=b,b-c=. c2=a2+b2-2abcos60°, 将 c=b-代入得(b-)2=a2+b2-ab, 化简得 b(a-1)=a2-. ∵a>1,∴a-1>0. b===(a-1)++2≥+2. 当且仅当 a-1=时，取“=”,即 a=1+时,b 有最小值 2+.
