13．3.2 等边三角形第 1 课时 等边三角形的性质与判定1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点)2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入观察下面图形：师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？生：等边三角形．师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．二、合作探究探究点一：等边三角形的性质【类型一】 利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数．解析：因为△ABC 三个内角为 60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC 的度数，因为 BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数．解： △ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，且 CE＝CD，DM⊥BC，垂足为 M，求证：BM＝EM.解析：要证 BM＝EM，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可．证明：连接 BD， 在等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30° ， ∠ ACB ＝ 60°. CE ＝ CD ， ∴ ∠ CDE ＝ ∠ E. ∠ACB ＝ ∠ CDE ＋ ∠ E ， ∴ ∠ E ＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE 为等腰三角形．又 DM⊥BC，∴BM＝EM.方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法．【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 △ABC 为正三角形，点 M 是 BC 边上任意一点，点 N 是 CA 边上任意一点，且 BM＝CN，BN 与 AM 相交于 Q 点，∠BQM 等于多少度？解析：先根据已知条件利用 SAS 判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠BQM＝∠ABC＝60°.解： △ABC 为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB 和△BNC 中， ∴△AMB≌△BNC(SA...
