（2025-2026学年）人教九年级数学上册21.2.2 公式法 教案VIP专享

21．2.2 公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程． 一、情境导入老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当 b2－4ac≥0 时，方程才有实数根，而 b2－4ac<0 时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由 b2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当 b2－4ac＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 b2－4ac＝0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 b2－4ac＜0 时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值 已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2 且 a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于 0，得到一个不等式，再由二次项系数不为 0 知 a－1 不为 0.即 4－4(a－1)＞0 且 a－1≠0，解得 a＜2 且 a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则 b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为 0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况 已知：关于 x 的方程 2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论 k 取何值，k2≥0，所以 k2＋8＞0，即 Δ＞0，∴方程 2x2＋kx－1＝0 有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其...