*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题． 一、情境导入一般地，对于关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0(p，q 为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解 x1、x2，算一算 x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知 m、n 是方程 2x2－x－2＝0 的两实数根，则＋的值为( )A．－1 B. C．－ D．1解析：根据根与系数的关系，可以求出 m＋n 和 mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为 m、n 是方程 2x2－x－2＝0 的两实数根，所以 m＋n＝，mn＝－1，＋＝＝＝－.故选 C.方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于 0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程 已知一元二次方程的两根分别是 4 和－5，则这个一元二次方程是( )A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0解析： 方程的两根分别是 4 和－5，设两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程 ax2＋bx＋c＝0 中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为 x2＋x－20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为 1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解 (2025·云南曲靖)已知 x＝4 是一元二次方程 x2－3x＋c＝0 的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为 x1，则由根与系数的关系得 x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为 x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数 (2025·山东烟台)关于 x 的方程 x2－ax＋2a＝0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是( )A．－1 或 5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为 x1，x2，由题意，得 x＋x＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5. x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得 a1＝5，a2＝－1.又 Δ＝a2－8a，当 a＝5 时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去 a＝5.当 a＝－1 时，Δ>0，此时方程有...
